Новые посты (ответы) простыми методами, тем же api, наверное не получить (на текущий момент я не знаю, может Алекс напишет), а вот темы примерно как-то так (через консоль в таком исполнении протестировал, работает, на живом форуме не пробовал):

Код:

<script>
(() => {fetch('/api.php?method=topic.getRecent&limit=100&fields=posted')
  .then(response => response.json())
  .then(dats => {
  let numb = 0, day = Math.floor(Date.now()/1000)-86400;
  dats.response.forEach(item => {
    if (item.posted > day) {
      numb++
      }
    });
    let item2 = document.createElement('li'), statscon = document.querySelector('#pun-stats .statscon .item2')
  item2.classList.add('item2')
  item2.innerHTML = `<span>Новых тем за сутки:</span> <strong>${numb}</strong>`
  statscon.parentNode.insertBefore(item2,statscon.nextSibling)
})})()
</script>